题目

题型：黄浦区一模难度：来源：

如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
（1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率P_m的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t₁电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
（3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t₂棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为

1

5

v，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．

答案

（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，外力应沿斜面向上，设其大小为F₁，则  
   F₁-mgsinθ-B₁Il=0
由图（b）可知，磁感应强度B的大小与t关系为B₁=2t
回路中产生的感应电动势  E=

△ϕ

△t

=

△B•S

△t

，S=l•d，
此时回路中的感应电流  I=

E

R+r

得 F1=mgsinθ+B1

2•l•d

R+r

l=mgsinθ+4

l2d

R+r

t
（2）由图（c）可知，金属棒运动的最大速度为v₀，此时金属棒所受合力为零．
设金属棒此时所受拉力大小为F₂，流过棒中的电流为I_m，则  F2-mgsinθ-B′Iml=0
 E_m=B´lv₀
 P_m=F₂•v_m   
得 

Pm

v0

-mgsinθ-B′

B′lv0

R+r

l=0
解得  B′=

1

l

( Pm v 20 - mgsinθ v0 )(R+r)

（3）设磁感应强度为B，棒沿斜面向上运动时，mgsinθ+BIl=ma得
  a=gsinθ+

B2l2vt

m(R+r)

取极短时间△t，速度微小变化为△v，△v=a△t，△s=v△t
得 △v=gsinθ△t+

B2l2v△t

m(R+r)

在上升的全过程中，∑△v=gsinθ∑△t+

B2l2∑△s

m(R+r)

即0-v=-[t2gsinθ+

B2l2s

m(R+r)

]
又下滑到匀速时有  mgsinθ-

B2l2v

5(R+r)

=0
由上两式得s=

v2

5gsinθ

-

vt2

5

上升的高度H=s•sinθ=

v2-vgt2sinθ

5g

答：
（1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系是F₁=mgsinθ+4

l2d

R+r

t；
（2）磁感应强度B′的大小为

1

l

( Pm v 20 - mgsinθ v0 )(R+r)

；
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是

v2-vgt2sinθ

5g

．