题目

题型：不详难度：来源：

荷兰科学家惠更斯在研究物体碰撞问题时做出了突出的贡献．惠更斯所做的碰撞实验可简化为：三个质量分别为m₁、m₂、m₃的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为L的三根平行绳子上，彼此相互接触．现把质量为m₁的小球拉开，上升到H高处释放，如图所示，已知各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，H远小于L，不计空气阻力．
（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，试求此时系统的运动周期．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m₁：m₂：m₃应为多少？它们上升的高度分别为多少？

答案

（1）球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，球3以球1碰球2前瞬间的速度开始上升到H高处，然后再摆回来与球2、球2与球1碰撞，使球1上升到H高处，此后，系统做到周期性运动，则T1=T3=2π

L g

，T=

1

2

(T1+T3)
由此可知系统的运动周期为：T=2π

L g

（2）由题意知三球碰后的动量均相同，设为p，
则Ek=

p2

2m

，球2在与球3碰前具有动量2p，
根据机械能守恒定律，对于球2与球3碰撞的情况应有：

(2p)2

2m2

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₂：m₃=3：1
球1与球2碰前的动量为3p，根据机械能守恒定律有：

(3p)2

2m1

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₁：m₂=2：1
从而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
设三球碰后上升的高度分别为H₁、H₂、H₃
球1碰前动能E_K1=m₁gH，又E_K1=

(3p)2

2m1

，∴H₂=

9P2

2 m 21 g

球1碰后动能E_K1=m₁gH₁，又E_K1=

p2

2m

，∴H2=

P2

2 m 21 g

从而可得：H1=

H

9

同理可得：H2=

4H

9

H₃=4H
答：（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，T=2π

L g

．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m₁：m₂：m₃=6：3：1．
它们上升的高度分别为

H

9

，

4H

9

，4H．