题目

题型：郑州一模难度：来源：

如图所示，两平行金属板A、B长度l=0.8m，间距d=0.6m．直流电源E能提供的最大电压为9×10⁵V，位于极板左侧中央的粒子源可以沿水平方向向右连续发射比荷为q/m=l×10⁷C/kg、重力不计的带电粒子，射人板间的粒子速度均为v₀=4×10⁶m/s．在极板右侧有一个垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=lT，分布在环带区域中，该环带的内外圆的圆心与两板间的中心重合于O点，环带的内圆半径R_l=

2

m．将变阻器滑动头由a向b慢慢滑动，改变两板间的电压时，带电粒子均能从不同位置穿出极板射向右侧磁场，且两板间电压最大时，对应的粒子恰能从极板右侧边缘穿出． 
（1）问从板间右侧射出的粒子速度的最大值v_m是多少？
（2）若粒子射出电场时，速度的反向延长线与v₀所在直线交  于O′点，试用偏转运动相关量证明O′点与极板右端边缘的水平距离x=

1

2

，即O′与0重合，所有粒子都好像从两板的中心射 出一样． 
（3）为使粒子不从磁场右侧穿出，求环带磁场的最小宽度d．

答案

（1）由动能定理研究粒子从进极板到处极板的过程：

qU

2

=

1

2

mv_m²-

1

2

mv₀²
解出v_m=5×10⁶m/s   


（2）证明：如图，设粒子在电场中的侧移为y，则

x

y

=

v0

vy

 
根据类平抛运动的规律研究粒子在水平方向和竖直方向的运动，
列出运动学等式：
l=v₀t     y=

vy

2

 t   
  联立解得x=

l

2

（3）设环带外圆半径为R₂，
所求d=R₂-R₁    
 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，粒子刚好不出磁场的临界轨迹如图，
根据几何关系得：
  R₁²+r_m²=（R₂-r_m）²   


根据洛伦兹力提供向心力得：
qv_mB=m

v 2m

rm

  
 联立解得：d=（2-

2

）m=0.586m  
答：（1）从板间右侧射出的粒子速度的最大值是5×10⁶m/s  
（2）证明如上．
（3）环带磁场的最小宽度是0.586m．