题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，均匀光滑直杆AB长为L，可绕光滑固定转轴O转动，O在距B点

L

3

处．在水平杆的另一端A下摆经过的轨迹上安装光电门，用来测量A端的瞬时速度v_A，光电门测量位置和距转轴O的高度差h可以调节，有一质量为m的小球套在光滑杆上，重力加速度g取10m/s²．
（1）若杆的质量忽略不计，小球固定在杆OA的中点处，由静止释放杆，请写出光电门测量到的速度v_A与高度差h的关系式；
（2）实际情况下杆的质量M不能忽略，拿走小球后重复实验，得到了如图所示的v_A²与h关系图线．请写出杆绕O点转动时的动能E_k与v_A的关系式；
（3）将光电门安装在OA中点正下方

L

3

处，将杆由水平位置静止释放，套在杆上某处的小球由静止开始沿杆下滑，恰好经过该光电门，测得小球对地速度大小为v．已知杆的质量M是小球质量m的

2

倍，杆绕O点转动时的动能E_k与v_A满足（2）问关系．求此时小球重力做功的瞬时功率P．

答案

（1）根据图中几何关系可知，A端下降高度为h时，小球下降高度为

h

2

，设此时小球的速度为v₁．有机械能守恒定律：

1

2

mv12=mg

h

2

由小球与A端共轴，有相同的角速度，所以：v_A=2v₁
解得：vA=2

gh

（2）考虑杆的质量，拿走小球后，杆的重心距转轴O的距离为

L

6

．因此杆的重心下降高度H与A端下降高度h的关系为：H=

h

4

对杆和球组成的整体，由动能定理得：E_k=

2

3

Mg

h

2

-

1

3

Mg

h

4

由图象得：h=

vA2

45

得：E_k=

MvA2

18

（3）小球下降高度h′=

L

3

，此时杆与水平方向夹角为45°．由几何关系知，杆的重心下降高度H′=

L

6

cos450=

2 L

12

设杆此时动能为E_k，小球垂直杆方向的分速度为v₁，小球沿杆方向分速度为v₂
杆和小球组成的系统机械能守恒：mg

L

3

+Mg

2 L

12

=

1

2

mv2+Ek
解得：Ek=

1

2

mgL-

1

2

mv2
又：

v ′A

v1

=

2 3 L

2 3 L

=

2

，
Ek=

M v 2A

18

=

2 m v 2A

18

解得：v₁=

9 2 (10L-v2) 4

又v2=

v2- v 21

=

(4+9 2 )v2-90 2 L 4

又：p=mgv1cos450+mgv2cos450
解得：p=10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)
答：（1）光电门测量到的速度v_A与高度差h的关系式为vA=2

gh

；
（2）杆绕O点转动时的动能E_k与v_A的关系式为Ek=

M v 2A

18

；
（3）此时小球重力做功的瞬时功率P为10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)．