题目

题型：不详难度：来源：

（10分）某飞船升空后，进入近地点距地心为r₁，远地点距地心为r₂的椭圆轨道正常运行，然后飞船推进舱发动机点火，飞船开始变轨，即飞船在远地点时，将质量为的燃气以一定的速度向后方喷出后，飞船改做半径为r₂的圆周运动。设距地球无穷远处为引力势能零点，则距地心为r、质量为的物体的引力势能表达式为。已知地球质量，万有引力常量G，地球表面处重力加速度为g，飞船总质量为，飞船沿椭圆轨道正常运行时远地点、近地点两处的速率与距地心的距离乘积相等。求：
（1）地球半径；
（2）飞船在远地点的速度大小v₂ ；
（3）飞船在远地点时，应将的气体相对于地球多大的速度向后方喷出才能进入半径为r₂的圆轨道。

答案

（1）（2）（3）

解析

(1)地面附近                   ...................（1分）

R="    "               ……………………… （1分）
(2)由开普勒第二定律得      v₁ r₁₌ v₂ r₂ ……………………… （1分）                                       
飞船在椭圆轨道上运行，机械能守恒
   ……………………（1分）   
则联立得    ………………（1分）          (3)设飞船在圆轨道上运行的速度为v₃，则

.................（1分）
     ……………………………（1分）                                                         
由动量守恒定律得  mv₂=(m-Δm)v₃ -Δmv₀          ................._.（1分）                                          
                 ………………………（1分）                           
得             …………（1分）