题目

题型：天津高考真题难度：来源：

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m"的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m"（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v=2.7×10⁵m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10^－11 N·m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

答案

解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同。设其为ω。由牛顿运动定律，有



设A、B之间的距离为r，又，由上述各式得 ①
由万有引力定律，有
将①代入得
令
比较可得 ②
（2）由牛顿第二定律，有 ③
又可见星A的轨道半径 ④
由②③④式解得 ⑤
（3）将代入⑤式，得
代入数据得 ⑥
，将其代入⑥式得 ⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得
 ⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞