题目

题型：南通模拟难度：来源：

太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统．它们运行的原理可以理解为，质量为M的恒星和质量为m的行星（M大于m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如图所示，我们可认为行星在以某一定点c为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．
（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
（2）试计算恒星与点c间的距离和恒星的运行速率v．

答案

（1）两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，故两恒星运动的轨道和位置大致如图：
（2）对行星m，F=mω²R_m----------①
对恒星M，F′=mω²R_M------------②
根据牛顿第二定律，F与F′大小相等
由①②得RM=

m

M

Rm=

m

M

a
对恒星M，G

Mm

(Rm+RM)2

=M

v2

RM

代入数据解得：v=

m

m+M

GM a

答：（1）恒星运动的轨道和位置大致如上图．
（2）恒星与点c间的距离为

m

M

a，恒星的运行速率为

m

m+M

GM a

．