题目

题型：不详难度：来源：

我国自行研制的“神舟”六号载人飞船，于2005年10月12日在酒泉发射场由长征二号F型火箭发射升空．并按预定轨道环绕地球飞行5天后，安全返回，在内蒙古的主着陆场着陆．
（1）设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，时间t秒内飞船绕地球运行的圈数为N，求飞船离地面的平均高度h．
（2）已知质量为m的飞船在太空中的引力势能可表示为：Ep=-G

Mm

r

，式中G为万有引力常量，M为地球的质量，r为飞船到地球中心的距离．那么将质量为m的飞船从地面发射到距离地面高度为h的圆形轨道上，长征二号F型火箭至少要对飞船做多少功？（不考虑地球自转对发射的影响）．

答案

（1）设飞船质量为m，地球质量为M，飞船周期为：T=

t

N

，
由万有引力定律和牛顿第二定律对飞船的运行过程有：
G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

，
又：
G

Mm

R2

=mg，
解得飞船离地面的高度：
h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）若将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为h处，引力做功为：
W₁=G

Mm

R+h

，
若将飞船由距地球无穷远处移至地球表面，引力做功为：
W₂=G

Mm

R

，
所以将飞船由地球表面发射到距离地面h高的轨道上的过程中，引力做功为：
W₃=G

Mm

R+h

-G

Mm

R

，
设飞船在距离地面高为h的圆轨道上运动时的速度为v，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

，
设将飞船送入沿距地面高度为h的圆形轨道运动的过程中，火箭要对飞船所做的功为W，
根据动能定理有：
W+W₃=

1

2

mv²，
解得：
W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．
答：
（1）设“神舟”六号飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，时间t秒内飞船绕地球运行的圈数为N，求飞船离地面的平均高度h=

3	gR2t2 4π2N2

-R．
（2）已知质量为m的飞船在太空中的引力势能可表示为：Ep=-G

Mm

r

，式中G为万有引力常量，M为地球的质量，r为飞船到地球中心的距离．那么将质量为m的飞船从地面发射到距离地面高度为h的圆形轨道上，长征二号F型火箭至少要对飞船做功为W=G

Mm(R+2h)

R(R+h)

．