题目

题型：徐州三模难度：来源：

如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直平面内的光滑半圆轨道BC在B处平滑连接，B、C分别为半圆轨道的最低点和最高点．一个质量m=0.1kg的小物体P被一根细线拴住放在水平轨道上，细线的左端固定在竖直墙壁上．在墙壁和P之间夹一根被压缩的轻弹簧，此时P到B点的距离X₀=0.5m．物体P与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，半圆轨道半径R=0.4m．现将细线剪断，P被弹簧向右弹出后滑上半圆轨道，并恰好能经过C点．g取10m/s²．
求
（1）P经过B点时对轨道的压力；
（2）细线未剪断时弹簧的弹性势能．

答案

（1）P恰好能经过C点，设其速度为v_c，
由向心力公式有mg=

mv 2C

R

                                    
解得v_c=

gR

=2m/s
 P从B到C的过程中机械能守恒，设P经过B点时的速度为v_B，则有
mg•2R+

1

2

mv

2c

=

1

2

mv

2B

                                     
解得v_B=

4gR +v 2c

=2

5

m/s                 
设小球刚过B时受到圆轨道的支持力为N_B，由向心力公式有
N_B-mg=

mv 2B

R

                                            
解得  N_B=mg+

mv 2B

R

=6N             
由牛顿第三定律可得，
物体刚过B点时对轨道的压力大小为6N，方向竖直向下．      
（2）设细线剪断前弹簧的弹性势能为E_P．从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒可得
E_p-μmgx₀=

1

2

mv

2B

                                         
解得E_p=μmgx₀+

1

2

mv

2B

=1.1J
答：（1）P经过B点时对轨道的压力是6N，方向竖直向下；
（2）细线未剪断时弹簧的弹性势能是1.1J．