题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O₁等高．现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O₂等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能回到D点并能沿DC弧返回C处．g=10m/s²．求：
（1）小球刚滑倒D点时，对D段的压力大小
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O₁的距离
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．

答案

（1）设小球滑到D点速度为v，从C滑到D的过程，由机械能守恒定律有：

1

2

mv2=1.5mgR，得v=

3gR

在D点，由牛顿第二定律有：F-mg=m

v2

1.5R

，
联立发上两式解得：F=3mg，
所以小球对D段的压力大小F′=F=3mg，方向竖直向下；
（2）小球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O₁的连线与水平夹角α，D点和碰撞点连线与水平夹角为β，则有
  x=vt，y=

1

2

gt2
  v_y=gt，v_x=v
  tanα=

vy

v

  y=Rsinα，
解得：sinα=

1

2

，得α=30°，v_y=

gR

，x=

3

R，
D到O₁的距离为：DO₁=x-Rcosα=

3

2

R；
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小v′=

vy

sinα

=2

gR

．
答：
（1）小球刚滑倒D点时，对D段的压力大小为3mg．
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O₁的距离为

3

2

R．
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小是2

gR

．