题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，长度为L=0.9m、质量为m=1kg的木板Q放在粗糙的水平面上，Q的上表面和两个半径为R=0.2m的

1

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光滑圆弧轨道底端相切，已知两圆弧最底端之间的距离为d=1.0m．质量也为m=1kg的小滑块P从左侧圆弧最高点（和圆心A、B等高）以竖直向下的初速度v₀=

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m/s开始下滑，小滑块恰不能冲出右侧的圆弧，在此过程中小滑块P和木板Q未共速，Q到右（左）圆弧底端与右（左）壁相碰后便停止运动不反弹，重力加速度为g=10m/s²，求：
（1）P、Q之间的动摩擦因数；
（2）此过程中水平面对Q的摩擦力所做的功；
（3）P最终停止位置到右圆弧底端的距离．

答案

设Q与水平面间的动摩擦因数为μ₁，P、Q间的动摩擦因数为μ₂
（1）设P到左圆弧最底端的速度为v₁，对P从开始运动到左圆弧最底端应用动能定理有：

1

2

mv12-

1

2

mv02=mgR
解得v₁=3m/s．
设P到右圆弧最底端的速度为v₂，因为P滑上右圆弧轨道恰能滑到最高点，在此过程中，对P应用动能定理有：
0-

1

2

mv22=-mgR
P在Q上滑动，对P应用动能定理有：

1

2

mv22-

1

2

mv12=-μ2mgd
联立解得v₂=2m/s，μ₂=0.25．
（2）P在Q上向右做匀减速运动，P的加速度大小为a₁=μ₂g，方向向左
Q向右做匀加速运动，加速度大小为a2=

μ2mg-μ1(m+m)g

m

=μ2g-2μ1g，方向向右．
设P在Q上运动的时间为t₁，应用运动学公式可知，
t1=

v2-v1

-a1

=0.4s．
对Q有d-L=

1

2

a2t12，水平面对Q的摩擦力做功为W_f=-μ₁（2m）g（d-L）
联立解得：a2=1.25m/s2，μ₁=0.0625，W_f=-0.125J．
（3）P第一次从左圆弧最底端到右圆弧最底端受到的作用力不变，根据动能定理可知，动能减小量△E_k=μ₂mgd=2.5J．
假设P能从右圆弧最底端到左圆弧最底端，到底端时的动能为

1

2

mv32=

1

2

mv22-△Ek＜0．
说明小滑块从右圆弧最底端不能到达左圆弧最底端．
假设P、Q可达到共同速度v₃，需时间t，则有：v₃=v₂-a₁t=a₂t．
解得v3=

2

3

m/s，t=

8

15

s．
在此过程中Q的运动位移x1=

v32

2a2

=

8

45

m＞0.1m，说明P、Q不可能达到共同速度，Q向左运动0.1m与左壁碰撞而停止运动，P向左运动位移x2=

v22

2a1

=0.8m停止运动，P最终停止位置到右圆弧底端的距离为0.8m．
答：（1）P、Q之间的动摩擦因数为0.25．
（2）此过程中水平面对Q的摩擦力所做的功为-0.125J．
（3）P最终停止位置到右圆弧底端的距离为0.8m．