题目

题型：不详难度：来源：

过山车是游乐场中常见的设施．如图17所示是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件和小球最终停留点与起点间的距离．

答案

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时， ；当时，

解析

试题分析：（1）（4分）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁根据动能定理
                   ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
                                    ②
由①②得                                                      ③
（2）（4分）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由题意
                                       ④
              ⑤
由④⑤得                                                   ⑥
（3）（4分）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足
                                    ⑦
              ⑧
由⑥⑦⑧得           
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理

解得                  
为了保证圆轨道不重叠，R₃最大值应满足

解得               R₃=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或
当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则


当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．