题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在倾角θ=30°、足够长的斜面上分别固定着两个物体A．B，相距L=0.2m，它们的质量m_A=m_B=1kg，与斜面间的动摩擦因数分别为μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0时刻同时撤去固定两物体的外力后，A物体将沿斜面向下运动，并与B物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物***换速度．g取10m/s²．求：
（1）A与B第一次碰后瞬时B的速率？
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？
（3）至第n次碰撞时A、B两物体通过的路程分别是多少？

答案

（1）A物体沿斜面下滑时有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_Agcosθ
aA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　
B物体沿斜面下滑时有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
综上分析可知，撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动．                             
由运动学公式得A与B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s
由于AB碰撞后交换速度，故AB第一次碰后瞬时，B的速率v"_B1=v_A1=1m/s
（2）从AB开始运动到第一次碰撞用时t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体将以v_B2=v"_B1=1m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动．              
设再经t₂时间相碰，则有v′B1t2=

1

2

a

t

22

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　
故从A开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s  
（3）从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s
…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物体比B物体多运动L长度，则
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　
答：（1）A与B第一次碰后瞬时B的速率为1m/s．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历了1.2s．
（3）至第n次碰撞时A、B两物体通过的路程分别是[0.2+

2n(n-1)

5

]m、

2n(n-1)

5

m，（n=1，2，3，…，n-1）．