题目

题型：北京难度：来源：

蹦床比赛分成预备运动和比赛动作．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx （x为床面下沉的距离，k为常量）．质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x_l．取重力加速度g=10m/s²，忽略空气阻力的影响．
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x图象可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x₁和W的值．

答案

（1）根据胡克定律得，mg=kx₀，解得k=

mg

x0

=

500

0.10

N/m=5000N/m．


F随x的变化示意图如图所示．
（2）根据竖直上抛运动的对称性，知运动员下落的时间为1s．
则上升的最大高度hm=

1

2

gt2=

1

2

×10×1m=5m．
（3）图线围成的面积表示弹力做的功，则弹力做功W=

1

2

kx2．
运动员与弹簧接触时的速度v=gt=10m/s．
根据动能定理得，mgx1-W弹=0-

1

2

mv2
W弹=

1

2

kx12
联立两式解得x₁=

101 +1

10

m=1.1m．
则W=2525J．
答：（1）常量k=5000N/m，弹力F随x变化的示意图如图所示．
（2）运动员离开床面后上升的最大高度为5m．
（3）x₁和W的值分别为1.1m和2525J．