题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为S处自由释放，并与B球发生碰撞．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球的质量M=3m，弹簧振子的周期T=2π

M k

（A、B小球均可视为质点）．



（1）求A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂．
（2）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k的可能取值．
（3）若A球与B球每次都在B球的初始位置迎面相碰．请你以A球自由释放的瞬间为计时起点，速度方向向右为正方向，求作A球的v-t图线（要求至少画出小球A与B球发生第三次碰撞前的图线，必须写出画图的依据）．

答案

（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v₀，
由动能定理得，qES=

1

2

mv02                         
解得：v0=

2qES m

                          
碰撞过程中动量守恒   mv₀=mv₁+Mv₂                             
机械能无损失，有

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

Mv22                            
解得，v1=-

1

2

v₀=-

1

2

2qES m

负号表示方向向左  
v₁=v₀（舍）
v2=

1

2

v₀=

1

2

2qES m

，方向向右                v₂=0（舍）
（2）由（1）可知，碰撞后A球向左减速，B球以初速

1

2

v₀向右做简谐运动，要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+

1

2

）T
      a=

Eq

m

                        
则t=2

v1

a

=nT+

T

2

（n=0、1、2、3 …）   
 t=2π

M k

                         
解得：k=

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …） 
（3）A球与B球的第二次前速度分别为-v₁、-v₂，碰撞后速度分别为v′₁和v′₂，应满足
碰撞过程中动量守恒-mv₁-Mv₂=mv′₁+Mv′₂                        
机械能无损失，有

1

2

mv12+

1

2

Mv22=

1

2

mv′12+

1

2

Mv′22               
解得：v′₁=2v₁=-v₀=-

2qES m

方向向左，v′₂=0                      
可见，当A球再次回到O处与B球发生第三次碰撞时，第三次碰撞是第一次碰撞的重复，此后过程将周而复始地进行，A球的v-t图线如图所示，




其中v0=

2qES m

，t′=

v0

a

=

2mS qE

答：（1）A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度大小为

1

2

2qES m

，方向向左，和B球的速度大小为

1

2

2qES m

方向向右；
   （2）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，劲度系数k的可能取值为

3π2Eq(2n+1)2

2S

（n=0、1、2、3 …）．
   （3）图象如图所示．