题目

题型：不详难度：来源：

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速运转将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身的重力作用下，落回深坑夯实坑底．然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮的半径为R=40cm，角速度ω=10rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴ N，滚轮与夯杆的动摩擦因数µ=0.3，夯杆质量m=1×10³ kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度不变，且夯杆底端刚到坑口时，速度恰好为零．取g=10m/s²，

2

=1.4．求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为多大；此时夯杆底端离坑底多高；
（2）每次打夯的周期为多少．

答案

（1）根据牛顿第二定律得，2f-mg=ma
解得a=

2f-mg

m

=

2×0.3×2×104-1×104

1×103

m/s2=2m/s²．
设夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为v，
根据h=

v2

2a

+

v2

2g

，解得v=

8 3

3

m/s．
因为滚轮的线速度v=Rω=4m/s＜

8 3

3

m/s．
所以夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s．
此时夯杆底端离坑底的高度h1=

v2

2a

=

16

4

m=4m．
（2）夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．
向上匀加速直线运动的时间t1=

v

a

=

4

2

s=2s，匀减速直线运动的时间t3=

v

g

=0.4s
匀减速直线运动的位移h3=

v2

2g

=

16

20

m=0.8m
则匀速直线运动的位移h₂=h-h₁-h₃=6.4-4-0.8m=1.6m
则匀速运动的时间t2=

h2

v

=

1.6

4

s=0.4s．
自由落体运动阶段h=

1

2

gt42，解得t4=

2h g

=

12.8 10

s=0.8

2

s=1.12s
则打夯的周期为T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.92s
答：（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s；此时夯杆底端离坑底4m．
（2）每次打夯的周期为3.92s．