题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在固定的粗糙斜面上依次放有两块质量相等m₁=m₂=10kg的平板A、B，长度均为 L=1.6m，斜面倾角很小为θ（sinθ=0.1，cosθ≈1），一个质量为m₃=20kg 的小滑块C以v₀=5m/s的初速度滑上平板A的上表面．A与斜面之间的动摩擦因素为μ₁=0.2，B与斜面之间的动摩擦因素μ₂=0.1，滑块C与平板A、B之间的动摩擦因数相同，设为μ₃．设最大静摩擦力与相对应的滑动摩擦力大小相等，g=10m/s．
（1）若小滑块C滑上平板A时，平板均不动，而滑上平板B时，平板B开始滑动，求μ₃应满足的条件；
（2）若μ₃=0.4，求滑块C从开始滑上平板A到最终相对斜面静止时运动的时间和平板B沿斜面上滑的最大距离．

答案

（1）要使小滑块滑上平板A时，平板不动，则：
μ₃m₃gcosθ≤μ₁（m₁+m₃）gcosθ+μ₂m₂gcosθ+（m₁+m₂）gsinθ
要使小滑块滑上平板B时，平板B开始滑动，则：
μ₃m₃gcosθ≥μ₂（m₂+m₃）gcosθ+m₂gsinθ
解得：0.2≤μ≤0.45
即μ₃应满足的条件为0.2≤μ≤0.45．
（2）设C在A上滑动时，C的加速度为a_c，经t₁时间滑出A时的速度为v₁，则
m₃gsinθ+μ₃m₃gcosθ=m₃a_c
解得
a_c=5m/s²
根据速度位移公式，有
v₀²-v₁²=2a_cL
解得
v₁=3m/s
根据速度时间公式，有
v₀-v₁=a_ct₁
解得
t1=

2

5

s
C滑到B上以后，B开始滑动，加速度为a_B，假设经t₂时间后B、C达到共同速度v₂时C还没有从B上滑出
对B：μ₃m₃gcosθ-μ₂（m₂+m₃）cosθ-m₂gsinθ=m₂a_B
解得
a_B=4m/s²
根据速度位移公式，有
v₂=a_Bt₂
对C：v₂=v₁-a_ct₂
解得：v2=

4

3

m/s
t2=

1

3

s
C相对于B滑动的距离△x=

v1+v2

2

t2-

v2

2

t2
△x=0.5m＜L假设成立
之后C和B一起沿斜面减速，加速度为a，经t₃速度变为零
对BC整体：（m₁+m₃）gsinθ+μ₂（m₁+m₃）gcosθ=（m₁+m₃）a
解得
a=2m/s²
根据速度位移公式，有
t3=

v2

a

故t3=

2

3

s
由于（m₁+m₃）gsinθ=μ₂（m₁+m₃）gcosθ，故BC最终静止在斜面上；
故C从开始滑上平板A最终相对斜面静止时运动的时间：t=t₁+t₂+t₃t=1.4s，平板B沿斜面上滑的最大距离：xB=

v2

2

(t2+t3)x_B=0.67m．