题目

题型：徐汇区模拟难度：来源：

如图所示为某钢铁厂的钢轨传送装置，斜坡长为L=20m，高为h=2m，斜坡上紧排着一排滚筒，长为l=8m、质量为m=1×10³ kg的钢轨放在滚筒上，钢轨与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，滚筒边缘的线速度均为v=4m/s，使钢轨沿斜坡向上移动，并假设关闭电动机的瞬时滚筒立即停止转动，钢轨对滚筒的总压力近似等于钢轨的重．求：
（1）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间，
（2）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机对钢轨至少做多少功．

答案

（1）木料开始受到的滑动摩擦力为f₁=μmg=3×10³ N  ①
由牛顿第二定律得：f₁-mg sinα=ma_{1 ②}，
①②联立得：a₁=2  m/s²
由匀减速运动公式  
t₁=

v

a1

=2 s
s₁=

1

2

a₁t₁²=4 m
s₂=L-l-s₁=8 m
t2=

s2

v

=2s
t=t₁+t₂=4 s
（2）最后一段运动关闭发动机，钢轨匀减速上升：f₁+mg sinα=ma₃，
代入数据得：a₃=4 m/s²，
匀减速运动时间：t3=

v

a3

=

4

4

s=1s
匀减速运动的位移：s₃=vt₃-

1

2

a₃t₃²=2 m
s₂=L-l-s₁-s₃=6 m，
由动能定理得：Wf-mg(s1+s2)sinα=

1

2

mv2
代入数据求得；W_f=1.8×10⁴ J
答：（1）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间为4s，
（2）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机对钢轨至少做1.8×10⁴ J功．