题目

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【题文】 （本小题满分13分）已知函数f （x）＝ln x－a²x²＋ax （a∈)．
（1）当a＝1时，求函数f （x)的单调区间；
（2）若函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

答案

【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是;
（2）实数a的取值范围是．

解析

【解析】
试题分析：（1）当时，，定义域是．首先求得：，再利用导数的符号判断函数 的单调性并求单调区间；
（2）首先求出函数的导数，因为函数f （x)在区间 （1，＋∞)上是减函数，所以所以在上恒成立；转化为二次函数、二次方程与二次不等式问题．
试题解析：解：（Ⅰ）当时，，定义域是．
，
由，解得；由，解得；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．        5分
（2）（法一）
因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，
则，即在上恒成立．       7分
当时，，所以不成立．                          9分
当时，，，对称轴．
，即，解得
所以实数a的取值范围是．                                13分
（法二），定义域是．
①当时，在区间上是增函数，所以不成立．       8分
②时，
令，即，则，                 9分
（1）当时，由，解得，
所以函数的单调递减区间是．
因为函数在区间上是减函数，+所以，解得．         11分
（2）当时，由，解得，
所以函数的单调递减区间是．
因为函数在区间上是减函数，所以，解得．
综上实数a的取值范围是．                             13分
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、二次函数、二次方程与一元二次不等式综合问题；3、等价转化的思想与数形结合的思想．