题目
题型:难度:来源:
【题文】已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范围为[,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
(I)求f(x)的解析式;
(II)已知k的取值范围为[,+∞),则是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
答案
【答案】解:(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax,
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根,∴Δ=(2a+1)2-4a×0=0,
∴a=,f(x)=- x2+x. ......5分
(2)∵f(x)=- (x-1)2+≤,
∴[km,kn]?(-∞,],∴kn≤,又k≥,∴n≤≤,
又[m,n]? (-∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数,即-
即m,n为方程-x2+x=kx的两根,解得x1=0,x2=2-2k.∵m<n且k≥.
故当≤k<1时,[m,n]="[0,2-2k];" 当k>1时,[m,n]=[2-2k,0]; 当k=1时,[m,n]不存在.
即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax,
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根,∴Δ=(2a+1)2-4a×0=0,
∴a=,f(x)=- x2+x. ......5分
(2)∵f(x)=- (x-1)2+≤,
∴[km,kn]?(-∞,],∴kn≤,又k≥,∴n≤≤,
又[m,n]? (-∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数,即-
即m,n为方程-x2+x=kx的两根,解得x1=0,x2=2-2k.∵m<n且k≥.
故当≤k<1时,[m,n]="[0,2-2k];" 当k>1时,[m,n]=[2-2k,0]; 当k=1时,[m,n]不存在.
解析
【解析】略
核心考点
试题【【题文】已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.(I)求f(x)的解析式;(II)已知k的取值范围为[,+】;主要考察你对一次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,那么( )
A.a∈(-∞,-1) | B.a=2 |
C.a≤-2 | D.a≥2 |
【题文】函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,那么( )
A.a∈(-∞,-1) | B.a=2 |
C.a≤-2 | D.a≥2 |
【题文】设对任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C.或 | D. |
【题文】设对任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C.或 | D. |
【题文】函数在的最大值是_________________
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