题目

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【题文】已知函数（为实数， ，）．
（1）若函数的图象过点，且方程有且只有一个根，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围．

答案

【答案】（1）；（2）或.

解析

【解析】
试题分析：（1）根据题意，二次函数经过点，需满足，方程有且仅有一个根，须有，分别得到关于的方程，得到的表达式；（2）根据（1）的结果，得到的解析式，为开口向上的二次函数，对称轴为，若在上单调，需满足对称轴在区间的左侧或右侧，进而得到关于的不等式，得到的取值范围.
试题解析：（1）因为，即，所以．
因为方程有且只有一个根，即．
所以． 即，．   
所以． 
（2）因为
=．  
所以当 或时，即或时，是单调函数． 
考点：1.二次函数；2.函数的单调性.