题目
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【题文】已知函数的定义域为,对于任意的,都有,且当时,,若.
(1)求证:为奇函数;
(2)求证:是上的减函数;
(3)求函数在区间上的值域.
(1)求证:为奇函数;
(2)求证:是上的减函数;
(3)求函数在区间上的值域.
答案
【答案】(1)证明:见解析;
(2)证明:见解析;(3)函数在区间上的值域为.
(2)证明:见解析;(3)函数在区间上的值域为.
解析
【解析】(1)赋值求出,即证出为奇函数;(2)利用函数单调性定义和奇函数证出是上的减函数;(3)由(2)得函数在区间上的最大值是;最小值是.
(1)证明:的定义域为,令,则, 令,则,即.
,故为奇函数. 4分
(2)证明:任取且,
则
又,,,
即.
故是上的减函数. 8分
(3)解:
又为奇函数,
由(2)知是上的减函数,
所以当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为. 11分
所以函数在区间上的值域为. 12分
(1)证明:的定义域为,令,则, 令,则,即.
,故为奇函数. 4分
(2)证明:任取且,
则
又,,,
即.
故是上的减函数. 8分
(3)解:
又为奇函数,
由(2)知是上的减函数,
所以当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为. 11分
所以函数在区间上的值域为. 12分
核心考点
举一反三
【题文】设是定义在R上的奇函数,且当时,则的值等于____
【题文】 偶函数在区间单调增加,则满足的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
【题文】函数,若,则的值为
A.3 | B.0 | C.-1 | D.-2 |
【题文】设函数,则有( )
A.是奇函数, | B.是奇函数, |
C.是偶函数 | D.是偶函数, |
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