题目

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【题文】设函数.
（1）若求的单调区间及的最小值；
（2）若,求的单调区间；
（3）试比较与的大小.其中,并证明你的结论.

答案

【答案】（1）当时,的增区间为,减区间为,；（2）当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是；（3）由（1）可知,当时,有即


=.

解析

【解析】
试题分析：（1）先求出导函数，解不等式和，判断函数的单调性即可；
（2）先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，从导函数的二次项系数的正负；根据导函数根的大小，进行分类讨论；最后判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.
（3）将比较所给的两个式子的大小关系，关键是要根据第（1）小问的结论适当的赋特值，建立不等关系：
.然后根据该不等放缩求和即可得出两者的大小关系.
试题解析：（1）
当时, 在区间上是递增的.
当时, 在区间上是递减的.
故当时,的增区间为,减区间为,.
（2）若,当时,
则在区间上是递增的;
当时,,  在区间上是递减的.                             
若,当时, 
则在区间上是递增的, 在区间上是递减的;
当时,, 在区间上是递减的,而在处有意义; 则在区间上是递增的,在区间上是递减的.    
综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是.     
（3）由（1）可知,当时,有即


=.
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.