题目

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【题文】设函数.
（1）当时,求曲线在处的切线方程;
（2）当时,求函数的单调区间;
（3）在（2）的条件下,设函数,若对于,,使成立,求实数的取值范围.

答案

【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为；单调减区间
（3）.

解析

【解析】
试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点；（2）利用函数的单调性与导数的关系；若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到;（3）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.
试题解析：解:函数的定义域为,  
（1）当时，，，
∴在处的切线方程为  

当，或，，当时，
故当时，函数的单调递增区间为；单调减区间
当时，由以上知函数在上为减函数，所以在上的最小值
若对于使成立在上的最小值不大于在[1,2]上的最小值（*）  
又
①当时，在上为减函数，矛盾
②当时，，由及得，

③当时，在上为减函数，
此时
综上，的取值范围为.
考点：（1）求曲线的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）恒成立的问题.