题目

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【题文】（12分）若f(x)是定义在（0, +∞）上的增函数，且对一切x, y>0，满足f()=f(x)－f(y).
（1）求f(1)的值；
（2）若f(6)=1，解不等式f(x+3)－f()<2.

答案

【答案】（1）f(1)=0；（2）－3<x<9

解析

【解析】令x=y=1可以求出f(1);第二问紧抓f()=f(x)－f(y)，将不等式转化为f()<f (6)，然后利用单调性去掉对应法则f.对于抽象函数问题注意赋值法的应用，对于函数不等式一般都是利用其单调性去掉对应法则f.
解：（1）令x=y=1f(1)=0
（2）易知x+3>0    ①
又由f()=f(x)－f(y) f(x+3)－f()=f[3(x+3)]
即f [3(x+3)]<2=f(6)+f(6)
f [3(x+3)]－f(6)<f(6)
f()<f (6) 由f(x)在（0，+∞）↑
∴<6  ②
由①②知－3<x<9