题目

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【题文】设函数f(x)＝x＋ax²＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.

答案

【答案】　(1) a＝－1，b＝3. (2)利用导数证明。

解析

【解析】
试题分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.（1分）
由已知条件得即
解得a＝－1，b＝3.   （4分）
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x²＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋＝－.  （6分）
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．（8分）
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）
考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明。
点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解。