题目

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【题文】已知函数 的定义域是 ， 是 的导函数，且 在上恒成立
（Ⅰ）求函数 的单调区间。
（Ⅱ）若函数 ，求实数a的取值范围
（Ⅲ）设 是 的零点 ， ，求证： ．

答案

【答案】（Ⅰ）的单增区间是，无单减区间；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则求出的导数，根据已知条件判断出在定义上正负，从而求出的单调区间；（Ⅱ）求出的导数，将与代入，将条件具体化，根据在上恒成立，通过参变分离化为在上恒成立，利用导数求出最大值M，从而得出实数a的取值范围a＞M；
（Ⅲ）由是 的零点知，是 的零点，由（Ⅰ）知 在（0，+）是单调增函数，得出当时，，即，即＜0，在利用的单调性得出，利用不等式性质得出与的关系，即可得出所证不等式．
试题解析：（Ⅰ）
因为在上恒成立
所以在上恒成立
所以的单增区间是，无单减区间              （3分）
（Ⅱ）
因为在上恒成立
所以在上恒成立
即在上恒成立              （4分）
设 则
令得
当时，；当时，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以．            （8分）
（Ⅲ）因为是的零点，所以
由（Ⅰ）知，在上单调递增，
所以当时，，即
所以当时，
因为，所以，且
即
所以
所以                        （12分）
考点：常见函数的导数，导数的运算法则，函数单调性与导数间关系，导数的综合运用，推理论证能力