题目

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【题文】（本题14分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即．
（1）设，求集合A和B；
（2）若，，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．

答案

【答案】（1），；（2）；

解析

【解析】
试题分析：（1）紧扣题中给出的“不动点”和“稳定点”的定义，准确列出关于的方程，求得集合A和B；（2）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数和两种情况且注意分母不能为0，求出集和，再由，确定的取值范围；（3）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数和两种情况，求出集和，证得结论．本题属于创新型问题，在求解时关键在于准确把握新定义，正确应用新定义和相关知识求解所给的问题，要在理解新定义上下功夫，在应用新定义解决所给问题上做文章．具体到本题中，函数的“不动点”本质就是方程的解，函数的“稳定点”本质就是方程的解，只要能牢牢把握这一本质，就能解好本题目．
试题解析：（1）由，得，解得；      1分
由，得，解得.       2分
所以集合，.      4分
（2）①若，则，符合题意；      5分
②若，由题意有：，
注意：，验证得：不是方程的根；
∴；      6分
，
注意：且，
验证得：和都不是方程的根，
∴；      8分
∴；∵，∴，∴方程有解，
∴且；      9分
综上，实数的取值范围是．      10分
（3）①若，，结论成立；      11分
②若，由得，则      12分
∵
考虑方程：，∵，∴方程无解．
∴；      13分
∴．      14分
考点：①含参数的一元二次方程解法；②集合与集合的关系．