题目

题型：上海高考真题难度：来源：

已知椭圆Γ的方程为，点P的坐标为(-a，b)，
(Ⅰ)若直角坐标平面上的点M、A(0，-b)、B(a，0)满足，求点M的坐标；
(Ⅱ)设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E。若k₁·k₂=，证明：E为CD的中点；
(Ⅲ)对于椭圆Γ上的点Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P₁、P₂使得
，写出求作点P₁、P₂的步骤，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范围。

答案

(Ⅰ)解：设点M的坐标为(x₀，y₀)，
∵，
∴，
于是，点M的坐标为。
(Ⅱ)证明：由得(b²+a²k₁²)x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0，
∴CD中点坐标为，
∵，
∴，
由得l₁与l₂的交点E的坐标为，
∴l₁与l₂的交点E为CD的中点．
(Ⅲ)解：第一步：取PQ的中点；
第二步：过点R作斜率为的直线交Γ于P₁、P₂两点，
由(Ⅱ)可知，R是P₁P₂的中点，则PP₁QP₂是平行四边形，
有，要使P₁、P₂存在，则点必须在椭圆内，
将代入椭圆Γ的方程，得，
当且仅当时，点R在椭圆内，
整理得(1+sinθ)²+(cosθ-1)²＜4，即2sinθ-2cosθ＜1，
亦即，
又0＜θ＜π，
∴。