题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
设数列的前n项和为且方程有一根为，n=1,2,3…,试求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明

答案

由，
当n=2时，由①得 ，
当n=3时，由①得  ，
猜想  n="1,2,3…" 证明见解析。

解析

本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。
（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。
（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。
证明：             
当n=1时，  
当n≥2时，，
代入（*）式得①            ……（3分）
当n=2时，由①得    ……（4分）
当n=3时，由①得    ……（5分）
可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，
由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）
下面用数学归纳法证明这个猜想：
（1）当n=1时已知猜想成立                        ……（7分）
（2）假设n=k时猜想成立，即
则当n=k+1时，由①得
这就是说，当n=k+1时，猜想也成立             ……（10分）
根据（1）和（2），可知对所有正整数n都成立  ……（12分）