题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e^x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是

答案

D

解析

试题分析：由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y"=f"（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函数f（x）=ax²+bx+a，对称轴为x=-，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，
对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-＞0得到b＞0，f（-1）＜0不矛盾，
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-＜-1得到b＞2a，f（-1）＜0于图中f（-1）＞0矛盾，D不对．
法二：得到函数f（x）=ax²+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立，故选 D．
点评：易错题，本题要求“不可能”为的图象。研究函数的单调性、极值是导数的基本应用，方法明确，步骤规范。