题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=，定义域为［-1，1］
(Ⅰ)若a=b=0，求f(x)的最小值； (Ⅱ)若对任意x∈［-1，1］，不等式6≤f(x)≤5+均成立，求实数a,b的值.

答案

（1）当x=-1或时，f(x)取到最小值6.  
（2）a=0,b=0是满足题意的唯一一组值.

解析

(Ⅰ)当a=b=0时
f(x)=
f′(x)= 
记h(x)=16x³+48x²-14
令h(x)=0,得x=，x=,或x=.
若x∈或，则f′(x)＞0,即f(x)在和上为增函数.
若x∈，则f′(x)＜0，即f(x)在上为减函数，
∴f()=6为极小值.
又f(-1)=6，
∴f(x)在［-1,1］上的最小值为f(-1)=f()=6.
∴f(x)≥6，当x=-1或时，f(x)取到最小值6.
(Ⅱ)6≤f(x)≤5+
6≤≤5+
6(x+2)≤8x³+ax²+6x+14≤6x+16
0≤8x³+ax²+(b-6)x+2≤4
即
在不等式(*)中，取x=-1，，得
-8+a-(b-6)+2≥0
1+
即a-b≥0,a+b≥0
亦即-a+b≤0     (1)
      (2)
在不等式(#)中，取x=1，-，得
8+a+(b-6)+2≤4
-1+a-(b-6)+2≤4
即a+b≤0,≤0
亦即a+b≤0      (3)
-a+≥0     (4)
(1)+(3)，得b≤0
(2)+(4)，得b≥0
∴b=0
将b=0代入(2)，得a≥0
将b=0代入(3)，得a≤0
∴a=0
当a=0，b=0时，
6≤f(x)≤5+
0≤8x³+ax²+(b-6)x+2≤4
0≤8x³-6x+2≤4
记g(x)=8x³-6x+2
0≤g(x)≤4
g′(x)=24x²-6,
令g′(x)=0，得x=-或x=.
若x∈或则g′(x)＞0，即g(x)在和上为增函数.
若x∈，则g′(x)＜0，即g(x)在上为减函数，
∴g(-)=4为极大值，g()=0为极小值.
又g(-1)=0，g(1)=4，
∴g(x)在［-1，1］上最大值为g(-)=g(1)=4,
g(x)在［-1，1］上最小值为g(-1)=g()=0.
知0≤g(x)≤4，对一切x∈［-1，1］成立.
综上可知a=0,b=0是满足题意的唯一一组值.