题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)
某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数为R(x)="3700x" + 45x2 – 10x3(单位：万元), 成本函数为C (x) =" 460x" + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) =" f" (x+1) – f (x). 求:
(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

答案

（1）MP (x) =" P" ( x + 1 ) – P (x) =" –" 30x2 + 60x +3275   (xÎN且xÎ[1, 20])
（2）年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大
（3）MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少

解析

(1) P(x) =" R" (x) – C (x) =" –" 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000  (xÎN且xÎ[1, 20]);   3分
MP (x) =" P" ( x + 1 ) – P (x) =" –" 30x2 + 60x +3275   (xÎN且xÎ[1, 20]).    2分
(2) P`(x) =" –" 30x2 + 90x + 3240 =" –" 30( x +9 )(x – 12)  (xÎN且xÎ[1, 20])     3分
当1£ x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,
当 12 <x £ 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.
∴ x =" 12" 时, P(x)取最大值,                                      
即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.                        4分
(3) 由MP(x ) =" " – 30( x – 1) 2 + 3305   (xÎN且xÎ[1, 20]).
∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减.                                 1分
MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分