题目

题型：不详难度：来源：

已知，函数
（1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；
(2)求函数在[－1，1]的极值；
(3)若在上至少存在一个实数x₀，使>g(x_o)成立，求正实数的取值范围。

答案

（Ⅰ） 函数在点(1，)的切线方程为 
（Ⅱ）   时，极大值为，无极小值
时 极大值是，极小值是       
（Ⅲ）（，）

解析

本试题中导数在研究函数中的运用。（1）中，那么当时， 又   所以函数在点(1，)的切线方程为；（2）中令  有 
对a分类讨论，和得到极值。（3）中，设，，依题意，只需那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵ ∴
∴ 当时， 又   
∴ 函数在点(1，)的切线方程为 --------4分
（Ⅱ）令  有 
①        当即时

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

故的极大值是，极小值是
②        当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 
综上所述  时，极大值为，无极小值
时 极大值是，极小值是        ----------8分
（Ⅲ）设，
对求导，得
∵，    
∴在区间上为增函数，则
依题意，只需，即 
解得 或（舍去）
则正实数的取值范围是（，）