题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
设函数对任意的实数，都有，且当时，。
（1）若时，求的解析式；
（2）对于函数，试问：在它的图象上是否存在点，使得函数在点处的切线与平行。若存在，那么这样的点有几个；若不存在，说明理由。
（3）已知，且 ，记，求证： 。

答案

解：（1）；（2）满足题意的点有5个；（3）  .                          

解析

本试题主要考查了函数的解析式的求解，以及过点的切线方程的问题，和不等式的证明 的综合运用。
（1）第一问中将所求的变量转化为已知的区间，利用已知的关系式求解得到解析式。
（2）在第一问的基础上进一步得到函数的一般式，然后利用导数的思想，只要判定导函数为零，方程有无解即可。
（3）在第二问的得到函数的单调性，以及函数的最大值，然后结合函数的最值得到不等式，再结合等比数列的求和的思想得到。
解：（1）∵
设，则，∴。…………………2分
（2）设，则，
∴
∴，即为………4分
∵
 
∴问题转化为判断：关于的方程在，内是否解，即在，内是否有解，……………………6分
令
函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，
判别式，
且，，
当时，∵，
∴方程分别在区间上各有一解，即存在5个满足题意的点
②当时，∵，∴方程在区间上无解。
综上所述：满足题意的点有5个。                      …………………………9分
（3）由（2）可知：
∴当时，，在上递增；
当时，，在上递减。
∴当时，，
又
∴对任意的，当时，都有，
∴。
∴                                       …………………………13分