题目

题型：不详难度：来源：

如图等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S.

（1）求函数S=f(x)的解析式；
（2）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大.

答案

（1）（2）20

解析

本小题主要函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
（1）先作出所需辅助线：过C点作CE⊥AB于E，再分类讨论求出：在当x∈（0，5]时，当x∈（5，9]时，当x∈（9，14]时，函数S=f（x）表达式即可；
（2）分类讨论：当x∈（0，5]时，当x∈（5，9]时，当x∈（9，14]时，分别求出各个区间上的最大值，最后综合即得，△ABP的面积S最大值即可．
解（1）过C点作CE⊥AB于E，
在△BEC中，∴
由题意，当时，过P点作PF⊥AB于F，
∴PF=，∴当时，
当时，
当时， 
∴．综上可知，
函数
（2）由（1）知，当时，f（x）=4x为增函数，
所以，当x=5时，取得最大值20．
当x∈（5，9]时，f（x）=20，最大值为20．当x∈（9，14]时，f（x）=56-4x为减函数，无最大值．
综上可知：当P点在CD上时，△ABP的面积S最大为20．