题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）判断并证明的奇偶性与单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。

答案

（1）则；（2）函数为奇函数。证明见解析。
（3）．

解析

试题分析：（1）利用换元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）从而可得函数f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定义域为R，可求函数的定义域，先证奇偶性：代入f（-x）=-f(x)，从而可得函数为奇函数。再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）-f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性
（3）根据上面的单调性的证明以及定义域得到不等式的求解。
解：（1）令
则 ………3分
（2）
∴函数为奇函数。                        ………5分
当，任取
－
==
=
，

类似可证明当，综上，无论，上都是增函数。                                                               ………9分
（3）不等式化为
∵上都是增函数，∴恒成立
即对恒成立，∴
故的取值范围．                              ………14分
点评：解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定号，给出结论．