题目

题型：不详难度：来源：

定义域为的偶函数，对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（   ）

A．

B．

C．

D．

答案

A

解析

试题分析：根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，画出图形，根据函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；解：因为 f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数
令x="-1" 所以 f（-1+2）=f（-1）+f（1），f（-1）=f（1）即 f（1）="0" 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线，∵函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log_a（|x|+1），

如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，∴可得log_a3＞-2，∴3＞ ，解得-＜a＜又a＞0，∴0＜a＜故选A；
点评：此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题；