题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问:是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)由题意知,解出;(Ⅱ)先假设存在这样的点并设出点的坐标,然后根据斜率相等列出等式,解得即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用导数求得的最小值,然后说明在上的最小值不能大于的最小值,根据这一条件求得的范围;2的基本思路是:先利用导数求得的最小值-2,要使总存在,使得成立,说明在上有解,利用二次函数知识解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在说明在上有解时,不是利用二次函数知识,而是利用换元和分离参数法解答.
试题解析:⑴∵,∴.又在处取得极值.
∴,即,解得,,经检验满足题意,∴.
⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
又.则由,得,∴,∵,
∴,得.故存在满足条件的点
此时点的坐标为或.
⑶解法: ,令,得或.
当变化时,、的变化情况如下表:
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
又时,,∴的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,
∴当时,最小值不大于.又.
∴当 时,的最小值为,由,得;
当时,最小值为,由,得;
当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.
综上,的取值范围是.
解法:同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则
得, 或,得或.
∴或时,在上有解
故的取值范围是.
解法:同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.
∴当时,;当时,得,不成立,∴不存在;
当时,.令,∵时,,∴在
上为减函数,∴,∴.
综上,的取值范围是.
核心考点
试题【已知函数在处取得极值.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问:是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.0 | B. | C.1 | D. |
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