题目

题型：不详难度：来源：

设函数.
（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.

答案

（1）详见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）利用零点存在定理说明在区间内存在零点，然后利用函数的单调性来说明零点的唯一性；（2）先确定函数的解析式，将问题等价转化为“在上的最大值与最小值之差”，对二次函数的对称轴与区间的位置关系来进行分类讨论，从而求解出实数的取值范围.
试题解析：（1）当，，时，，
，在区间内存在零点，
又当时，，
在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；
（2）当时，，
对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，
据此分类讨论如下：
（i）当时，即时，，与题设矛盾！
（ii）当，即时，恒成立；
（iii）当，即时，.
综上所述，.