题目
题型:不详难度:来源:
(1)求水面宽;
(2)如图1所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,求沟中的水有多少立方米?
(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟,使沟的底面与地面平行,沟深不变,两腰分别与抛物线相切(如图2),问改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
答案
解析
试题分析:(1)以O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,写出A,B点的坐标,利用待定系数法抛物线方程,利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标,代入抛物线方程求出水面与抛物线交点的横坐标,结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度;(2)利用定积分求出水体底面面积,再用柱体体积公式求出水体体积;(3)设出切点坐标,利用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率,利用直线方程的点斜式求出切线方程,求出上下两底顶点的坐标,利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的宽,将梯形面积表示为切点的横坐标的函数,利用基本不等式求出面积取最小值时对应的切点坐标,从而求出梯形的下底宽.
试题解析:(1)如图建立直角坐标系,设抛物线方程为.
则由抛物线过点,可得.
于是抛物线方程为.
当时,,由此知水面宽为(米).
(2)(立方米)
(3)为使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须同抛物线相切.
设切点是抛物线弧上的一点,过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形,则切线的方程为:,于是.
记梯形的面积为,则,
当且仅当,时,等号成立,所以改挖后的沟底宽为米时,所挖的土最少.
核心考点
试题【学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A.2014 | B. | C.2015 | D. |
①;
②,;
③,;
④,;
⑤,.
A. | B. | C. | D. |
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