题目

题型：不详难度：来源：

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量R_n用表示，狐狸数量用F_n表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R₀=100只，狐狸数量有F₀=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出R_n、F_n关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．

答案

（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
∴

Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1 Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1

(n≥1)…4’
（2）设

αn

=

Rn Fn

，M=

1.1 0.1

-0.15 0.85

∴

αn

=M

αn-1

=M(M

αn-2

)=…=Mn

α∞

又矩阵M的特征多项式f(λ)=

.

λ-1.1 -0.1

0.15 λ-0.85

.

=λ²-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ₁=1，λ₂=0.95
特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

α1

=

3 2

特征值λ₂=0.95对应的一个特征向量为

α2

=

1 1

…6’
且

α0

=

100 30

=70

3 2

-110

1 1

=70

α1

-110

α2

∴

αn

=Mnα0=70

λ

n1

α1

-110

λ

n2

α2

=70

3 2

-110•0.95n

1 1

=

210-110•0.95n 140-110•0.95n

∴

Rn=210-110•0.95n Fn=140-110•0.95n

…14’
（3）当n越来越大时，0.95ⁿ越来越接近于0，R_n，F_n分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’