题目

题型：不详难度：来源：

（A）4-2矩阵与变换
已知二阶矩阵M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，属于λ₁的一个特征向量是e1=

1 1

，属于λ₂的一个特征向量是e2=

-1 2

，点A对应的列向量是a=

1 4

．
（Ⅰ）设a=me₁+ne₂，求实数m，n的值．
（Ⅱ）求点A在M⁵作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-

π

3

)=3，曲线C的参数方程为

x=cosθ y=3sinθ

，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

答案

（A）4-2矩阵与变换
（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：

1 4

=m

1 1

+n

-1 2

，即

1=m-n 4=m+2n

⇒

m=2 n=1

．
（Ⅱ）二阶矩阵M对应的变换是线性变换
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=2

1 1

+25=

2-25 2+26

=

-30 66

所以点A在M⁵作用下的点的坐标（-30，66）．
（B）4-2极坐标与参数方程
由ρsin(θ-

π

3

)=3，得：ρ(

1

2

sinθ-

3

2

cosθ)=3，∴y-

3

x=6，即：

3

x-y+6=0
又曲线C的参数方程是

x=cosθ y=3sinθ

，设点P坐标为（cosθ，3sinθ），
则点P到直线l的距离是d=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

( 3 )2+12

=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

2

=

|2 3 cos(θ+ π 3 )+6|

2

≤

|2 3 +6|

2

=

3

+3
所以，P到直线l的距离的最大值为

3

+3．