题目

题型：不详难度：来源：

如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BD．

答案

连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB   ∴∠CEB=∠FDB-----------5分
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角    ∴△BCE∽△BDF ∴，
即BE•BF=BC•BD…………10分
证法二：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线   ∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB
∵在中，∠CAB=,在中，∠D=
∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分
C,E,F,D四点共圆∴BE•BF=BC•BD…………10分
证法三：连接AC、AE，∵AB是直径，AC是切线  ∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF------3分
由射线定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF-------9分   ∴BE•BF=BC•BD

解析

采用分析法找到解题途径：