题目

题型：云南省月考题难度：来源：

（选做题）
如图，ΔABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，
（Ⅰ）求证：ΔABE≌ΔACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE。

答案

解：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
又∠BAE=∠EDC，
∵BD∥MN，
∴∠EDC=∠DCN，
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，
∴BC=BE=4，
设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC，
∴，
又AE·EC=BE·ED，EC=6-x，
∴，。