题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点。若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。
(1)当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
(2)当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

答案

解：(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，
OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，
C (2sinθ，2cosθ，0)，
设=(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由，得
取z=sinθ，则=(cosθ，-sinθ，sinθ)．
因为平面AOB的一个法向量为=(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB，得·=0，
所以cosθ=0，即θ=．　　　　　　　　　
(Ⅱ) 设二面角C-OD-B的大小为α，
由(Ⅰ)得当θ=时，cosα=0；当θ∈(，]时，tanθ≤-，
cosα===-，
故≤cosα＜0，
综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[，0]．