题目

题型：资阳三模难度：来源：

设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），

OM

=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指|

MN

|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为

a

=（0，1）；
③“函数y=5x²在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x²在[0，1]上可在标准

5

4

下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为______．

答案

由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得

ON

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，即

BN

=λ

BA

故①成立；
∵向量

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，
∴向量

ON

的横坐标为λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵

OM

=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y轴
∴直线MN的方向向量可以为

a

=（0，1），故②成立
对于函数y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
从而|

MN

|=

52(1-λ)2-(1-λ))2

=

25[(λ- 1 2 )2+ 1 4 ]2

≤

5

4

，
故函数y=5x²在[0，1]上可在标准

5

4

下线性近似”，故④成立，③不成立，
故答案为：①②④