题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指明点的位置;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)已知条件为面面垂直,,因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而平面,为两平面的交线,由平面ABD平面BCD,可得AE⊥平面BCD.(2)求二面角,有两个方法,一是做出二面角的平面角,二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD,可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角,即过点E作EM垂直CD于M,连AM,则AM垂直CD,所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角,关键求出面的法向量,由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出,再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.(3)探索点,从线面平行性质定理出发,利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性,难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单,设,利用法向量与平面内任一直线垂直,可解出,从而确定M位置.
试题解析:(1)因为平面平面,交线为,
又在中,于,平面
所以平面. 3分
(2)由(1)结论平面可得.
由题意可知,又.
如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系
4分
不妨设,则.
由图1条件计算得,,,
则 5分
.
由平面可知平面DCB的法向量为. 6分
设平面的法向量为,则
即
令,则,所以. 8分
平面DCB的法向量为
所以,
所以二面角的余弦值为 9分
(3)设,其中.
由于,
所以,其中 10分
所以 11分
由,即 -12分
解得. 13分
所以在线段上存在点使,且. 14分
核心考点
试题【如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,于,延长AE交BC于F,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示.(1】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
是矩形,是的中点,,.
(1)求证:
(2)求证:平面;
(3)若平面与平面所成的锐二面角的大小为,求线段的长度.
(1)求异面直线和所成角的大小;
(2)求几何体的体积.
(1)求证:平面;
(2)求锐二面角的余弦值.
(1)求证:;
(2)在弧上是否存在点,使得平面?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由;
(3)求二面角的正弦值.
(1)求证:;
(2)若异面直线和所成的角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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