题目

题型：不详难度：来源：

设

a

=(cos(θ-

π

6

) ，sin(θ-

π

6

)) ，

b

=(2cos(θ+

π

6

)，2sin(θ+

π

6

))．
（1）若向量(2t

b

+7

a

)与向量(

b

+t

a

)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t

b

+

m

t

a

(m为常数，且m＞0）的模的最小值．

答案

（1）由题设易得|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=2cos[(θ-

π

6

)-(θ+

π

6

)]=2cos(-

1

3

π)=1 
∴(2t

b

+7

a

)•(

b

+t

a

)=2t|

b

|2=2t|

b

 |²+2t

a

•

b

+7

a

•

b

+7t|

a

|  2＞0
整理可得，2t²+15t+7＞0
∴t＞-

1

2

 或 t＜-7
又当2t

b

+7

a

与b+t

a

共线时，不满足题意．
令2t

b

+7

a

=λ(

b

+t

a

)
则

2t=λ 7=tλ

∴t=±

14

2

∴t＞-

1

2

 或 t＜-7，且t≠±

14

2

         （6分）
（2）∵(2b

t

+

m

t

a

)2=4t2|

b

|2+4m

a

•

b

+

m2

t2

|

a

|2
=16t2+

m2

t2

+4m
令y=16t2+

m2

t2

+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+

m2

t2

+4m≥8m+4m=12m
当且仅当t=

m

2

于是①当

m

2

∈(0，1] 即 0＜m≤4时
当且仅当t=

m

2

时，y_min=12m．从而|2t

b

+

m

t

a

|=2

3m

②当

m

2

＞1 即m＞4时
可证 y=16t2+

m2

t2

+4m在（0，1]为减函数
从而当t=1时，y_min=m²+4m+16
∴|2t

b

+

m

t

a

| min=

m2+4m+16

                （6分）