已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．（1）当 FM•OM=4时，求点M的坐标；（2）求 |OM||FM|的最大值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当

•

=4时，求点M的坐标；
（2）求

的最大值．

答案

（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标是（1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因为

=(x0-1，y0)，

=(x0，y0)，所以，

•

=x0(x0-1)+

+3x0=4，
解得 x₀=1，或 x₀=-4（舍）．因为 y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．
（2）设点M（x，y），其中x≥0，

x2+y2

(x-1)2+y2

x2+4x

(x+1)2

-3

(x+1)2

x+1

．
设 t=

x+1

(0＜t≤1)，则

-3t2+2t+1

-3(t-

)2+

．
因为 0＜t≤1，所以，当 t=

（即x=2）时，

取得最大值

．

核心考点

试题【已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．（1）当 FM•OM=4时，求点M的坐标；（2）求 |OM||FM|的最大值．】；主要考察你对平面向量应用举例等知识点的理解。[详细]

举一反三

设平面向量

，

满足|

|=|

|=1，

•

=0，

+(t2-k)

，

=-s

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

⊥

，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使

•

=2-s．

题型：不详难度：| 查看答案

设OABC是四面体，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上一点，且OG=3GG₁，若

，则（x，y，z）为______．

题型：浦东新区二模难度：| 查看答案

已知定点A（-3，0），两动点B、C分别在y轴和x轴上运动，且满足

•

=0，

，
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）过点G（0，1）的直线l与轨迹E在x轴上部分交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，

），离心率为

，左、右焦点分别为F₁和F₂．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：顺德区模拟难度：| 查看答案

在直角坐标平面内，已知

=(x+2，y)，

=(x-2，y)，若|

|-|

|=2，则点P（x，y）所在曲线的方程为______．

题型：不详难度：| 查看答案

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